Nasce a Roma il 12 febbraio 1889 da Domenica Gaifani e da Arturo, illustre clinico. Nel 1910 consegue la laurea in matematica presso l'Università di Roma La Sapienza, discutendo una tesi di geometria proiettiva differenziale sotto la guida di Guido Castelnuovo. I suoi precoci contatti con Corrado Segre e con la scuola geometrica torinese consolidano i suoi interessi per la visione geometrica dei problemi matematici, che si concretizzano nello studio della geometria proiettiva differenziale in vista di una sua applicazione allo studio dei classici problemi della teoria delle equazioni alle derivate parziali e della teoria dei gruppi di trasformazioni.
Dal 1911 al 1913 e dal 1917 al 1922 è assistente di Castelnuovo alla cattedra di Geometria analitica e proiettiva a Roma e dal 1913 al 1915 è assistente di Geometria proiettiva e descrittiva a Pavia, dove ricopre anche il ruolo di professore interno dell'Istituto matematico.
Nel 1914 consegue la libera docenza in Geometria analitica e nel 1918 ottiene il diploma di ingegneria aeronautica all'Ecole Supérieure d'Aéronautique di Parigi. Durante la prima Guerra Mondiale è arruolato nell'aeronautica.
Negli anni 1919 e 1920 è professore incaricato presso la Facoltà di Scienze del corso di Integrazione di geometria analitica e proiettiva e nel 1920-1921 del corso di Analisi matematica presso la Scuola superiore di architettura a Roma.
Dopo aver vinto il concorso a cattedra per l'algebra e la geometria nel 1920, nel 1922 vince il concorso per la cattedra di Geometria analitica e proiettiva presso il Politecnico di Milano; dal 1923 al 1926 insegna invece Geometria proiettiva e descrittiva a Bologna, dove è anche incaricato per i corsi di Applicazione di geometria descrittiva e di Geometria superiore.
Nel 1927 fa ritorno a Roma, chiamato dalla Facoltà di Scienze de "La Sapienza" per la cattedra di Geometria descrittiva su proposta di Guido Castelnuovo. Bompiani alterna questo insegnamento con quello di Geometria analitica e proiettiva, mantenendolo fino alla fine della sua carriera nel 1959. Nel 1931 ottiene l'incarico di insegnamento per Analisi superiore e tiene poi per molti anni quello di Geometria differenziale.
Dirige l'istituto matematico dell'Università di Roma dal 1939 al 1959, anno in cui è collocato fuori ruolo. Fino alla sua andata a riposo, nel 1964, è insignito del titolo di professore emerito della Facoltà romana di Scienze.
Ospite di numerose università ed istituzioni scientifiche in tutto il mondo, è Visiting Professor all'Università di Chicago (per la prima volta nel 1930 e poi di nuovo nel 1934), alla Missouri University di Kansas City (1946) e presso l'Università di Pittsburgh (più volte dal 1947 al 1961).
Dal 1928 al 1959 è segretario generale del Comitato matematico del CNR; membro del comitato scientifico dell'Istituto nazionale di alta matematica (1941-1964); segretario della International Mathematical Union (1951-54). È tra i fondatori dell'Unione matematica italiana (vicepresidente dal 1938 al 1940; presidente dal 1949 al 1952, presidente onorario dal 1952 al 1975). È membro del Circolo matematico di Palermo e della Commissione Americana per gli scambi culturali con l'Italia (dal 1948 al 1960). Nel 1954 fonda il Centro italiano matematico estivo (CIME), del quale è direttore fino al 1974.
Socio corrispondente dal 1935 dell'Accademia nazionale dei Lincei (diverrà socio nazionale nel 1947), è membro dell'Accademia dei XL (dal 1951) e di molte altre accademie italiane ed europee.
Numerosi e ambiti riconoscimenti in campo nazionale e internazionale coronarono la sua attività scientifica: riceve il Premio per la Matematica dalla Fondazione Besso (1923); la Medaglia d'oro dell'Accademia nazionale delle scienze detta dei XL (1926); il Premio reale per la Matematica dall'Accademia nazionale dei Lincei (1938); la Stella d'oro al merito della Scuola (1942); la Medaglia d'oro del Presidente della Repubblica (1956); la Medaglia d'oro per il cinquantenario della fondazione dell'Unione matematica italiana (1972). È dottore Honoris Causa delle Università di Groningen (Olanda, 1964), Bologna (1966) e Iasi (Romania, 1970).
Muore a Roma il 22 settembre 1975.

- Per l'archivio della corrispondenza dei matematici italiani. Il fondo "Enrico Bompiani", a cura di Giovanni Paoloni, Quaderni Pristem, Università Bocconi, 1991.
- Per una storia del Consiglio Nazionale delle Ricerche, a cura di Raffaella Simili e Giovanni Paoloni, Roma Bari, 2001, 2 voll.
- Angelo Guerraggio - Pietro Nastasi, Matematica in camicia nera: il regime e gli scienziati, Bruno Mondadori, Milano, 2005.
- Gigliola Fioravanti, Il Consiglio nazionale delle ricerche e il suo archivio (1923-1950) presso l'Archivio centrale dello Stato, in Gli archivi per la storia della scienza e della tecnica, Atti del Convegno internazionale a cura di G. Paoloni, Desenzano del Garda, 4-8 giugno 1991, Roma, Ministero per i beni culturali e ambientali, Ufficio centrale per i beni archivistici e Accademia nazionale delle scienze detta dei XL, 1995.